Quanto grande può diventare un animale — legge del quadrato-cubo

Scegli chi ingrandire

Gira la manopola

1fattore di ingrandimento k

7,5 mmlunghezza vera

9,3 mgmassa

la formica vera 7,5 mm

Nella striscia in basso la persona è alta 1,75 m e la creatura è disegnata alla sua scala vera accanto a lei. Sotto una certa taglia la creatura diventa un puntino di due pixel: non è la sua dimensione, è il limite dello schermo.

Quattro grandezze, quattro velocità

Le barre sono in scala logaritmica: ogni tacca è un fattore dieci. Il valore in chiaro è scritto a destra.

Massa del corpo × k³

9,3 mg× 1

Forza delle zampe × k²

0,89 mN× 1

Schiacciamento nell’osso × k

× 1rispetto all’animale vero

Forza relativa ÷ k · va all’indietro

9,78pesi corporei che le zampe reggono

sotto questa riga non si regge in piedi

Sta in piedi.

Perché corrono a velocità diverse

Su due assi logaritmici le quattro grandezze sono quattro rette, e la pendenza di ciascuna è esattamente il suo esponente: 3, 2, 1, −1. Non c'è niente da misurare: sono geometria.

Da dove viene il numero di partenza

Tutti i conti su questa pagina partono da una sola misura: quanti pesi corporei riescono a spingere le zampe di una formica tagliafoglie. Prova a cambiarla e guarda cosa succede alla soglia.

L’osso di Galileo

Se vuoi che lo schiacciamento dentro l’osso non cambi mentre ingrandisci, l’area dell’osso deve crescere come k³ e non come k². L’area va col quadrato del diametro, quindi il diametro deve crescere come k·√k. Rispetto al resto del corpo l’osso diventa √k volte più tozzo. Questo è il disegno che Galileo pubblica nel 1638.

I due ossi sono disegnati alla stessa lunghezza sullo schermo: l’unica differenza visibile è lo spessore, ed è il punto della tavola del 1638.

Gigante alto 3 volte te — 5,25 m

7,8 cm a proporzioni esatte

13,5 cm per reggere lo stesso sforzo

1,73 × più tozzo, cioè √k

1,35 m lunghezza del femore

Femore di partenza: 450 mm di lunghezza, 26 mm di diametro esterno. Galilei, Discorsi, Giornata seconda, 1638.

Le formule, per rifare i conti a mano

IL FATTORE DI INGRANDIMENTO.  k = lunghezza nuova / lunghezza di partenza.
k = 1 è l'animale vero; k = 10 vuol dire dieci volte più lungo, ma anche dieci volte
più largo e dieci volte più alto. Le proporzioni non cambiano mai: è questa l'ipotesi
di tutto l'esperimento.

LA MASSA.  m = m₀ × k³.  Raddoppi la lunghezza, la massa fa per otto.
La triplichi, fa per ventisette.

LA FORZA DEI MUSCOLI.  F = F₀ × k², perché la forza di un muscolo va con
l'AREA della sua sezione, tagliata di traverso, e l'area cresce come il quadrato.
(Come ordine di grandezza si citano 25 N per cm² di sezione: qui è solo illustrativo,
in questa pagina non entra in nessun conto.)

IL PESO.  P = m × g,  con g = 9,81 m/s².  Segue la massa: P = P₀ × k³.

LA FORZA RELATIVA, la formula che decide tutto.
   F / P = (F₀ / P₀) / k        perché sopra c'è k², sotto k³, e k²/k³ = 1/k.
Quante volte il proprio peso riesci a spingere si divide per il fattore di
ingrandimento. Ingrandisci dieci volte, sei dieci volte più debole rispetto a te stesso.

LO SCHIACCIAMENTO DENTRO L'OSSO.  σ = P / A = σ₀ × k
(sopra k³, sotto k²). Raddoppi la taglia, raddoppi lo schiacciamento dentro l'osso.

LA REGOLA DELL'OSSO DI GALILEO.  Se vuoi che lo sforzo NON cambi, l'area dell'osso
deve crescere come k³ e non come k². L'area va col quadrato del diametro, quindi il
diametro deve crescere come k^(3/2) = k · √k. Rispetto al resto del corpo l'osso
diventa √k volte più tozzo. È il disegno che Galileo pubblica nel 1638.

I casi, con i conti in chiaro

La formica tagliafoglie ingrandita fino a pesare quanto te

IngressiAtta cephalotes, 9,3 mg e 7,5 mm; capacità di carico misurata 8,78 volte il proprio peso, quindi le zampe reggono 1 + 8,78 = 9,78 pesi corporei; ingrandimento fino a 70 kg.

Risultatok = , lunga ; le zampe reggono volte il proprio peso: sotto un corpo di 70.

Controllok = (70 / 9,3 mg)^(1/3) = . Controprova: 196³ = → . Forza relativa 9,78/196 = → . Carico trasportabile: − 1 è negativo, quindi non trasporta niente e non sta nemmeno in piedi. Per confronto, tu con la forza relativa della formica vera porteresti .

La soglia esatta: quando smette di reggersi

IngressiSi cerca il k a cui la forza relativa vale 1.

Risultatok = : una formica lunga — il palmo della tua mano — e pesante .

Controllo9,78/k = 1 → k = 9,78 → ; massa 9,3 mg × 9,78³ = . Ed è una soglia sul solo margine di stare in piedi: il carico trasportabile si è già dimezzato molto prima, a k = 9,78/5,39 = , cioè in una formica lunga . A k = () la capacità totale è scesa a pesi corporei, quindi il carico è passato da 8,78 a : si è diviso per 8,78, non dimezzato.

L’osso di Galileo, il caso che disegnò lui

IngressiFemore umano: 450 mm di lunghezza, 26 mm di diametro; gigante alto tre volte te, 5,25 m (k = 3).

RisultatoA proporzioni esatte l’osso sarebbe spesso ; per reggere lo stesso sforzo deve essere spesso : √3 = volte più tozzo. Non sembra più un femore, sembra una colonna.

ControlloIsometrico: 26 × 3 = . A sforzo costante: 3^(3/2) = → . Verifica: ; e (135,1/78)² = = k, il fattore che mancava.

Quanto sono lontane le tue ossa dal rompersi, stando ferme in piedi

Ingressi70 kg su due gambe; femore 26 mm esterni e 14 mm di canale (assunzione dichiarata); rottura dell’osso corticale 170 MPa (misure fra 130 e 190).

RisultatoSforzo : volte meno di quanto serve a romperle. Il puro schiacciamento arriverebbe a k = , cioè di altezza e . Il limite alla taglia non è lì.

ControlloSezione a tubo: (π/4)(26²−14²) = , due femori . Peso → . Margine 170/0,911 = . Un gigante alto tre volte te avrebbe , ancora volte sotto.

L’elefante non è un uomo ingrandito

IngressiUomo 1,75 m e 70 kg; elefante africano ≈ 3,2 m al garrese e ≈ 6000 kg.

RisultatoUn uomo ingrandito a 3,2 m peserebbe ; l’elefante ne pesa 6000, volte di più.

Controllok = , k³ = → . Al contrario: per arrivare a 6000 kg un uomo isometrico dovrebbe essere alto . L’elefante ha risolto cambiando forma, non taglia: zampe dritte come colonne, nessun salto, nessun galoppo.

Che cosa cambia se usi il numero sbagliato

Ingressi50 volte il proprio peso (il dato che si legge quasi ovunque) invece di 8,78 (misurato).

RisultatoLa soglia del crollo si sposta da 7,3 cm a : un fattore .

ControlloCon 50 le zampe reggono 51 pesi corporei, e 51/k = 1 → k = 51 → . La conclusione qualitativa non cambia — nessuna formica gigante, perché anche così alla tua taglia la forza relativa sarebbe 51/196 = — ma il numero che dai cambia di cinque volte.

Il paragone corporeo

Prendi in mano una borsa della spesa piena: tre bottiglie d’acqua da un litro e mezzo, tre chili e mezzo. Quella è tutta la forza che resta alle zampe della formica ingrandita fino a pesare quanto te — e sopra ci deve stare un corpo di settanta chili. Tu, che pesi lo stesso, ti alzi in piedi senza pensarci. E se fossi tu ad avere la forza relativa della formica vera, usciresti dal supermercato con seicentoquindici chili in braccio: un’utilitaria.

Sull’osso funziona allo stesso modo. Il tuo femore è spesso più o meno come il tuo pollice, ventisei millimetri. Il femore di un gigante alto cinque metri e venticinque, per non schiacciarsi più del tuo, dovrebbe essere spesso tredici centimetri e mezzo: quanto il tuo braccio all’altezza del bicipite, su un osso lungo un metro e mezzo. Galileo lo ha disegnato nel 1638 e ha commentato che a guardarlo non sembra più un osso.

La sorpresa

Ce ne sono due, e la seconda vale più della prima.

La prima. La formica ingrandita non diventa un mostro, diventa un invalido, e non serve nemmeno arrivare alla taglia di un uomo. Bastano 7,3 centimetri — il palmo della tua mano. A quella lunghezza la forza che resta alle zampe è appena il peso del corpo e niente più: 9,78 diviso 9,78 fa 1, e da lì in poi non c’è più margine per muoversi, arrampicarsi, trasportare. Alla tua taglia la forza relativa è 0,050. Il fattore è esattamente il fattore di ingrandimento, 196, perché la forza va come il quadrato e il peso come il cubo.

La seconda è sul numero stesso. Il “cinquanta volte il proprio peso” che si legge in ogni pagina sulle formiche non è una misura: circola senza uno studio alle spalle. L’unica misura pubblicata su formiche tagliafoglie — novanta individui da nove colonie, con carichi aggiunti a poco a poco fino al cedimento — dà 8,78 volte, con un’incertezza di 0,26. Il numero vero è quasi sei volte più piccolo della leggenda. La conclusione dell’esperimento non cambia, ma la soglia si sposta da 38 centimetri a 7,3. È il motivo per cui vale la pena chiedere sempre da dove viene una cifra, anche quando la cifra sta scritta dappertutto.

Che cosa questo modello non dice

La legge vale solo se la forma resta identica, e nessun animale vero fa così. Nello stesso studio del 2019 le formiche misurate andavano da 1,2 a 36,8 milligrammi, cioè un fattore 3 in lunghezza, e la legge prevede che su quel salto la forza relativa cali di tre volte. Misurata, non cala per niente: resta 8,78, con una pendenza di 1,04, indistinguibile da 1. Una spiegazione plausibile è che le operaie grandi di Atta abbiano teste e muscoli proporzionalmente più grossi delle piccole — cambierebbero forma, e appena la forma cambia la formula non si applica più. Va detto però che questa è un’interpretazione, non un risultato dello studio, che misura la capacità e non la sua causa. La legge non è sbagliata: è un’ipotesi che l’animale vero rifiuta, ed è per questo che serve, come termine di paragone per capire di quanto la natura se ne allontana.

Esistono artropodi terrestri molto oltre i 7,3 centimetri. Il granchio del cocco arriva a 4,1 chili e a un metro da zampa a zampa. Non è una formica ingrandita: corpo, zampe, esoscheletro e andatura sono costruiti in un altro modo.

La forza che un muscolo fa per centimetro quadrato non è una costante di natura. I 25 newton per cm² che si citano sono il valore d’uso; le misure sull’uomo vivo vanno da 2 a 73 a seconda del metodo, e una revisione sistematica del 2024 propone 26,8. Attenzione a come è costruita questa pagina: tutti i numeri partono dal dato misurato di 8,78 pesi corporei, non dalla tensione specifica. La cifra dei 25 N/cm² compare solo come ordine di grandezza illustrativo dentro la formula, e non entra in nessun conto.

Per lo stesso motivo, la capacità di carico assoluta la sappiamo dire solo per la formica. Per il topolino, il gatto e te non esiste una misura pubblicata equivalente: quando scegli una di queste tre creature la barra della forza relativa dice di quante volte diventi più debole di te stesso, e non a che taglia crolli. Quella riga rossa compare solo per la formica, perché solo lì c’è un numero misurato dietro.

Ed è il punto più debole di questa pagina. Il conto delle ossa considera solo la compressione dritta, peso diviso sezione, e viene un margine di 187. Nella realtà le ossa lavorano soprattutto a flessione, perché i muscoli e la spinta del terreno le piegano di lato, e i margini misurati su animali in movimento stanno fra 2 e 5, non 187. Il numero dei 327 metri non è una previsione di quanto grande può diventare un animale: è la dimostrazione che lo schiacciamento non è il limite. Il limite vero arriva molto prima, e nessuno sa dire esattamente dove: ci entrano i picchi di carico quando si corre e si salta, l’instabilità delle ossa lunghe che si inflettono di lato, la cartilagine, i tendini, il cuore, il calore da smaltire.

Quale regola seguano davvero le ossa è una domanda aperta. Alexander e colleghi nel 1979 hanno misurato le ossa degli arti dei mammiferi dal toporagno all’elefante: non seguono né la regola di Galileo (diametro come k^1,5) né l’isometria pura, stanno in mezzo, più vicine all’isometria, e gli animali grandi compensano soprattutto con la postura. Perché gli esponenti misurati stiano proprio lì, una derivazione accettata da tutti non esiste. E sulla massa massima dei sauropodi le stime pubblicate per lo stesso identico fossile arrivano a differire di un fattore due.

Esiste un’altra regola di scala famosissima, quella di Kleiber sul metabolismo, con esponente 3/4. Non compare in questo esperimento e non ne parliamo, perché quell’esponente è ancora oggetto di discussione fra i biologi e non ha nulla della certezza dei nostri 2 e 3.

Le assunzioni numeriche. g = 9,81 m/s², densità del corpo circa quella dell’acqua, femore 26 mm esterni e 14 mm di canale. Per la formica e per i quadrupedi la “lunghezza” è quella testa-corpo, per te è l’altezza: sono grandezze diverse, e i confronti fra creature vanno letti sapendolo. Se cambi questi valori cambiano tutti i numeri della pagina; non cambiano gli esponenti, che sono geometria pura — ed è una delle poche leggi in cui gli esponenti sono esatti: 2 per le aree, 3 per i volumi, non c’è niente da misurare e niente da discutere.

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